感知机是二分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取＋1和－1二值。感知机对应于输入空间中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型，感知机学习旨在求出将训练数据进行线性划分的分离超平面。为此，导入基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求的感知机模型。感知机算法具有简单而易于实现的优点，分为原始形式和对偶形式。感知机预测是用机器学习得到的感知机模型对新输入的实例进行分类。本篇博客依次从感知机模型、感知机的学习策略(损失函数)、感知机学习算法三方面进行介绍。

感知机模型

      定义：假设输入空间(特征向量)是X，输出空间是Y={-1,+1}，输入表示实例的特征向量，对应于输入空间的点，输出y∈Y表示实例的类别，由输入空间到输出空间的函数如下：

f(x)=sign(w·x+b)

称为感知机。其中，w和b为感知机模型参数，w∈R叫做权值或权值向量，b 叫做偏置。w·x表示w和x的内积。sign是符号函数，即：

      感知机模型的假设空间是定义在特征空间中的所有线性分类模型或线性分类器，即函数集合｛f|f(x)=w·x+b}。线性方程w·x+b=0对应于特征空间中的一个超平面S，其中w是超平面的法向量，b是超平面的截距。这个超平面将特征空间划分为两个部分。位于两部分的点(特征向量)分别被划分为正负两类。因此超平面S称为分离超平面。

感知机学习策略

      对于给定的数据集T={(x₁,y₁),(x₂,y₂),···,(x_n,y_n)}，如果存在超平面S，能够将数据集的正实例点和负实例点完全正确地划分到超平面的两侧，即对所有y_i＝+1的实例，都有w·x_i+b>0，对于所有的y_i＝－1的实例，都有w·x_i+b<0，则称数据集T为线性可分数据集，否则T为线性不可分数据集。

      假设数据集T是线性可分的，感知机的学习目标是求得一个能将T完全正确分离的超平面S，即确定参数w和b。因此需要确定一个学习策略，即定义经验损失函数并将损失函数最小化。提到损失函数，大家会想到的是误分类点的个数。但是误分类点的个数不是参数w,b的连续可导函数，不易优化。损失函数的另一个选择是误分类点到超平面的距离，输入空间R中任意一点x到超平面S的距离公式如下：

这里，||w||是w的范数。其次对于误分类的数据(x_i,y_i)来说，有-y_i(w·x_i+b)>0成立。因为当w·x_i+b>0时，y_i<0，反之当时w·x_i+b<0，y_i>0。因此误分类点到超平面S的距离为：

这样超平面S的误分类点的集合为M，那么所有误分类点到超平面S的总距离为：

不考虑，得到感知机的损失函数，也就是感知机学习的经验风险函数：

      显然，损失函数L(w,b)是非负的。如果没有误分类点，损失函数为0，而且误分类点越少，误分类点离超平面越近，损失函数值就越小。一个特定样本点的损失函数：在误分类时是参数w,b的线性函数，在正确分类时是0。因此，给定训练数据集T，损失函数L(w,b)是w,b的连续可导函数。感知机学习策略是在假设空间中选取损失函数（经验风险函数）最小的模型参数w,b。

感知机学习算法

      感知机学习策略已经将问题转化为求解损失函数式的最优化问题，最优化的方法是随机梯度下降法。本节叙述感知机学习的具体算法，包括原始形式和对偶形式，并证明在训练集线性可分的条件下，感知机学习算法的收敛性。

• 感知机学习算法的原始形式

      感知机学习算法是误分类驱动的，具体采用梯度下降法。首先，任意选取一个超平面w₀、b₀，然后用梯度下降法不断的极小化目标函数。极小化过程中不是一次使误分类集合M中所有点的梯度下降，而是一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。

      假设误分类点集合M是固定的，那么损失函数L(w,b)的梯度由：

随机选取一个点(x_i、y_i)，对w,b进行更新：

式中（0<≤1）是步长，在统计学习中又称为学习率。这样，通过迭代可以期待损失函数不断减小，直到0。综上得到如下算法：